Hier ist die Antwort schnell gegeben: Nein.
Eine freie Trauung hat weder zivilrechtliche noch kirchenrechtliche Relevanz. Wenn ihr eine rechtliche Verbindung wünscht, dann bleibt euch leider der Gang zum Standesamt nicht erspart, denn eine gesetzlich anerkannte Ehe kommt in Österreich nur zustande, wenn die Eheschließung vor einem Standesbeamten stattgefunden hat.